彩虹圈为什么会自己走下楼梯？

把彩虹圈放在台阶边缘，轻推一下，它就会一级一级地“走”下去。这是我们物理实验 PBL（题目类别三：彩虹圈）研究的问题：彩虹圈的下落与翻转下楼梯动力学。我们做了一个可交互的 3D 实验台，下面可以直接上手。

交互实验 · 下落 / 下楼梯两组实验，可调台阶与弹簧参数；拖动旋转、滚轮缩放。全屏打开 ↗

关于参数

实验台里的“塑料彩虹圈 / 金属 Slinky”预设是示例数据，可以在右侧面板按实物测量值修改后“应用参数并重置”。

从一维链到“平面刚性圈”

最简单的模型是一维质点—弹簧链： $N$ 个质点、相邻之间用弹簧连接。它足以解释下落，但解释不了下楼梯——走楼梯时彩虹圈会弯成拱形，需要转动和弯曲。

所以实验台用的是平面刚性圈模型：每一圈是一个刚性圆环，在竖直平面内有 3 个自由度——圈心 $(x, y)$ 和倾角 $θ$ 。侧视图里一圈是一根长 $2 R$ 的线段，方向 $\hat{e} = (\cos θ, \sin θ)$ ，弹簧轴向 $\hat{n} = (- \sin θ, \cos θ)$ 。相邻两圈之间有：

三根轴向弹簧：两侧边缘（ $\pm R$ ）各一根、圈心一根，同时给出拉伸刚度和弯曲刚度；
边缘接触：圈与圈不能互相穿透，被压紧时只能推、不能拉；
一根剪切弹簧：阻止相邻两圈横向错开；
地面 / 台阶接触：边缘点与台面、竖直面、倒圆棱角的接触，带库仑摩擦。

参数从哪来

整体轴向劲度由悬挂伸长量反推，再分配给相邻圈：

k = \frac{M g}{2 (L - L_{0})}, k_{s} = k (N - 1)

弯曲刚度与剪切劲度取螺旋弹簧理论的近似：

B = β k_{s} R^{2}, β = \frac{2 (1 + ν)}{3 + 2 ν} \approx 0.72 (ν \approx 0.3), k_{s h e a r} = γ k_{s}, γ = 3

积分用半隐式（辛）欧拉法，步长 $Δ t = 10 μ s$ 。

下落：底端为什么会“悬停”

把彩虹圈的顶端提起让它自然悬挂，然后松手。直觉上整根彩虹圈会一起下落，但实际上：底端几乎原地不动，直到压缩波从顶端传下来。

松手前，底端受到的弹簧拉力恰好与重力平衡；“松手”这个信息要以有限速度沿弹簧传播，波前到达之前，底端受力不变，所以纹丝不动。外力只有重力，因此质心始终严格自由落体 $y_{c} = \frac{1}{2} g t^{2}$ 。连续体理论给出底端开始运动的时刻：

t_{c} = \sqrt{\frac{M}{3 k}}

以塑料彩虹圈示例数据（ $M = 50 g$ ， $L_{0} = 7 cm$ ， $L = 120 cm$ ）为例： $k \approx 0.217 N/m$ ， $t_{c} \approx 0.28 s$ 。实验台的“下落实验”里，虚线环就是理论解，可以和模拟逐帧对照。

悬挂时彩虹圈还是上疏下密的：第 $i$ 段弹簧承受它下面所有圈的重量，越往上拉得越开。

下楼梯：能量从哪来

实验台的“下楼梯实验”里，先由“手”把最上面一圈沿弧线翻到下一级（0.9 s），松手后完全靠重力和弹力继续走：

翻下去的一端被重力拉长，彩虹圈弯成拱形；
弯曲内侧的圈被压紧、外侧被拉开——这正是“只能拉不能压”的接触约束在起作用；
拉伸的弹簧把后一端拽起、越过拱顶，翻转到下一级；
落地碰撞和摩擦耗散一部分能量，而每下一级，质心下降一个台阶高 $H$ ，重力势能 $M g H$ 又补充回来。

只要每级释放的势能能补偿翻转中的耗散，运动就能自持地一级级进行下去。台阶太高或太宽，翻过去的一端够不到下一级，走一两步就会停下——在实验台里把台阶从 6×12 cm 改成标准楼梯 17×28 cm 就能看到区别。

数值实现要点

// 每一步：先算所有力与力矩，再统一积分（半隐式欧拉）
for (let i = 0; i < N; i++) {
  vx[i] += fx[i] / m * dt;  vy[i] += fy[i] / m * dt;  w[i] += tq[i] / I * dt
  x[i]  += vx[i] * dt;      y[i]  += vy[i] * dt;      th[i] += w[i] * dt
}

转动惯量：薄圆环绕直径 $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ ；
接触阻尼比 取 0.3：显式积分下，转动的“之字形”模式要求阻尼比不超过约 0.5；
渲染：由每圈的 $(x, y, θ)$ 插值出一条连续的螺旋条带网格，颜色沿圈数渐变成彩虹色。

参数表（塑料彩虹圈示例）

参数	符号	示例值
总质量	$M$	50 g
圈数	$N$	40
压缩高度	$L_{0}$	7 cm
自然悬挂长	$L$	120 cm
外半径	$R$	3.5 cm
条带宽	$w$	6 mm
台阶（可持续行走）	$H \times D$	6 × 12 cm
摩擦系数	$μ$	0.6

[待补充：实物测量值、高速摄像对比、不同台阶下能否稳定行走的实验记录]

下一步

用高速摄像测量“底端悬停”的持续时间，与 $t_{c} = \sqrt{M / 3 k}$ 对比；
系统扫描台阶高宽，找出能持续行走的临界条件；
用实测数据标定 $β$ 、 $γ$ 与摩擦系数。

彩虹圈为什么会自己走下楼梯？ ​

从一维链到“平面刚性圈” ​

参数从哪来 ​

下落：底端为什么会“悬停” ​

下楼梯：能量从哪来 ​

数值实现要点 ​

参数表（塑料彩虹圈示例） ​

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